A30 Моделирование световых приборов на заданное светораспределение с помощью В-сплайн поверхностей

Будак В.П., Муханов П.В., МЭИ (ТУ), г. Москва

Скачать доклад в .pdf | Читать комментарии и вопросы

В настоящее время практически ни одна область человеческой деятельности не обходится без использования световых приборов. Совершенствование световых приборов позволит создавать более эффективные осветительные установки с низким потреблением электроэнергии. Для автоматизации производства световых приборов мы предложили метод расчета, о котором пойдет речь ниже.

Постановка задачи: нахождение оптической системы, обеспечивающей светораспределение максимально близкое к заданному.

Метод расчета. В общем случае предлагаемый метод состоит из следующих этапов:

  1. Получение исходных данных.
  2. Трассировка лучей. Моделирование источника излучения.
  3. Моделирование оптической системы (ОС).
  4. Моделирование мишени, разбиение её на телесные углы в случае расчета силы света или на сетку в случае расчета освещенности.
  5. Расчет хода лучей через ОС и подсчет количества лучей, попавших в различные области мишени.
  6. Расчет искомой величины.
  7. Определение невязки.
  8. Повторение пунктов 2-7 до тех пор, пока не перебирается все множество возможных решений.

Моделирование источника. Для решения прямой задачи будем использовать метод Монте-Карло в прямом ходе лучей, поэтому моделирование будет заключаться в розыгрыше излучающей точки на поверхности источника. Для простоты будем использовать сферический равнояркий источник излучения (см. рис. 1).


Рисунок 1.  а) моделирование точки выхода луча из источника, б) моделирование направления луча.

Розыгрыш начальной точки луча:

  1. Разыгрываем три случайных числа η1, η2, η3 равномерно распределенных на отрезке    [-1, 1].
  2. Вычисляем ρ= η12 + η22 + η32. Если ρ>1, то повторяем пункт 1.
  3. Вычисляем направляющие косинусы радиус-вектора:

  4. Координаты случайной точки будут равны:

    где R - радиус источника.

Розыгрыш направления луча:

  1. Разыгрываем два случайных числа, равномерно распределенных на отрезке [-1, 1]: η1, η2, а также одно случайное число μ на отрезке [0, 1].
  2. Вычисляем ρ= η12+ η22, если ρ>1, то повторяем пункт 1.
  3. Направление луча будет равно:

В результате этих расчетов мы получили направляющие косинусы луча в системе координат излучающей точки:

Для перехода к общей системе координат воспользуемся формулами Эйлера:

Таким образом, координаты излучающей точки:

направление луча:

Зная распределения яркости по поверхности источника, можно использовать любой другой источник без внесения каких-либо принципиальных изменений в расчет.

Моделирование поверхности. В процессе работы над методом расчета мы пришли к выводу, что наиболее целесообразным является представление отражателя с помощью В-сплайн поверхности. Это связано с тем, что они позволяют проводить локальную модификацию поверхности, а также легко формализуются при создании алгоритмов расчета и оптимизации отражателя.

Уравнение B-сплайн поверхности:

,

где Bi,j - координаты задающей сетки B-сплайна, Ni,k(u) и Mj,l(w) - базисные функции B-сплайна в бипараметрических направлениях u и w соответственно. Определяются базисные функции следующим образом:

 

Для построения поверхности отражателя требуется определить сетку B-сплайн поверхности, которая будет проходить через точки заданной поверхности. Для этого необходимо решить систему уравнений.

Введем следующие обозначения: D - матрица координат точек исходной поверхности, B - матрица координат узловых точек B-сплайна. Каждую точку исходной поверхности можно выразить из уравнения B-сплайн поверхности следующим образом:

Записав подобные выражения для всех точек исходной поверхности, мы получим систему линейных уравнений, которая в матричном виде будет выглядеть так:

D=CB,

где Ci,j=Ni,kMj,l.

Откуда получим

B=C-1D.

Следующим этапом после построения поверхности будет расчет хода через оптическую систему. Для этого  воспользуемся векторным представлением уравнений прямых и поверхностей в пространстве.

Точка пересечения прямой с плоскостью:

Точку пересечения прямой с окружностью заданной уравнением:

,

где R - радиус сферы, rс - координаты центра сферы, находим по формуле:

Координаты отраженного луча

      

Находим точку пересечения луча с B-сплайн поверхностью:

где ri,j - радиус вектор сетки, образующей B-сплайн поверхность, Bi,N, Bj,M - базисные функции B-сплайн поверхности.

Решив последнее уравнение, найдем три параметра u, w, x. Подставив параметр x в уравнение луча,  получим координаты точки пересечения.

При решении этого уравнения возникает проблема определения начального приближения для параметров u, w, x. Решаем проблему следующим образом: строим сферу, проходящую через две крайние точки и вершину параболы. Затем  находим точку пересечения исходного луча с этой сферой. Она и будет являться начальным приближением, после преобразования к параметрическим координатам,

Для того чтобы найти направление отраженного луча, необходимо восстановить нормаль к поверхности в точке пересечения. Для этого нам понадобится определить частные производные к B-сплайн поверхности:

где N′ и M′ производные базисных функций, определяемые по формуле:

Координаты нормали можно представить в виде:

              

Запись Qxu означает, что мы берем проекцию уравнения на ось OX.

Расчет силы света, как уже было сказано, сводится к подсчету количества лучей, попавших в различные области пространства.

Учет поляризации. При расчете многокомпонентных систем появляется необходимость учесть поляризацию излучения, поскольку она может сильно повлиять на интенсивность выходного излучения. Для учета поляризации будем использовать следующую формулу:

где Mi - матрица Мюллера, которая соответствует i-ому элементу оптической схемы; L - вектор параметр Стокса, который зависит от выбора системы координат(плоскости референции).

Для многократных отражений выражение будет иметь вид:

где  - направление падения излучения (единичный вектор), - направление визировании, n - нормаль к освещаемой поверхности, R(χ) - матрица ротатора, которая служит для поворота плоскости референции.

Оптимизация. На данный момент, оптимизация заключается в переборе всех значений из пространства возможных решений. Определив минимальную невязку, мы  определим решение. Однако, в дальнейшем планируется исследовать применимость в нашей задаче других методов оптимизации - метода сопряженных градиентов, метод наискорейшего спуска, генетический алгоритм.

Поскольку мы сформулировали задачу как нахождение отражателя, обеспечивающего максимально близкую кривую, а не полностью совпадающую, то мы можем определить по следующей формуле:

где Iисх, Iрас - соответственно исходная и полученная кривые силы света.

Все расчеты проводились в системе Matlab. На входе текущей версии программы задаются кривая сила света проектируемого прибора и характеристики источника излучения. Затем производится расчет, и программа определяет характеристики параболического отражателя, который обеспечивает заданную кривую (см.
рис. 2
).

Результаты расчета для параболического отражателя:

Рисунок 2. Сравнение искомой и полученной кривых сил света 

В будущем планируется создание программного комплекса с возможностью представления данных для работы со станком ЧПУ.

Тематика:

Возможность добавлять комментарии отключена в связи с окончанием конференции.

 

Российская светотехническая интернет-конференция, 2009 г.
© Межрегиональное светотехническое общество
© Коллектив авторов
22 queries. 0.104 seconds.